动态规划之矩阵连乘问题
问题描述
给定n个矩阵:A1,A2,...,An,其中Ai与Ai+1是可乘的,i=1,2...,n-1。确定计算矩阵连乘积的计算次序,使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。输入数据为矩阵个数和每个矩阵规模,输出结果为计算矩阵连乘积的计算次序和最少数乘次数。
例如,矩阵连乘积A1A2A3A4有5种不同的完全加括号的方式:(A1(A2(A3A4))),(A1((A2A3)A4)),((A1A2)(A3A4)),((A1(A2A3))A4),(((A1A2)A3)A4)。每一种完全加括号的方式对应于一个矩阵连乘积的计算次序,这决定着作乘积所需要的计算量。
所以问题是:如何确定运算顺序,可以使计算量达到最小化。
问题实例
【2018-08-09】例:设要计算矩阵连乘乘积A1A2A3A4A5A6,其中各矩阵的维数分别是:
A1:30x35;
A2:35x15;
A3:15x5;
A4:5x10;
A5:10x20;
A6:20x25
递推式
设计算A[i:j],1≤i≤j≤n,所需要的最少数乘次数m[i,j],则原问题的最优值为m[1,n]。
当i=j时,A[i:j]=Ai,因此,m[i][i]=0,i=1,2,…,n
当i
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image.png 构造最优解
若将对应m[i][j]的断开位置k记为s[i][j],在计算出最优值m[i][j]后,可递归地由s[i][j]构造出相应的最优解。s[i][j]中的数表明,计算矩阵链A[i:j]的最佳方式应在矩阵Ak和Ak+1之间断开,即最优的加括号方式应为(A[i:k])(A[k+1:j)。因此,从s[1][n]记录的信息可知计算A[1:n]的最优加括号方式为(A[1:s[1][n]])(A[s[1][n]+1:n]),进一步递推,A[1:s[1][n]]的最优加括号方式为(A[1:s[1][s[1][n]]])(A[s[1][s[1][n]]+1:s[1][s[1][n]]])。同理可以确定A[s[1][n]+1:n]的最优加括号方式在s[s[1][n]+1][n]处断开...照此递推下去,最终可以确定A[1:n]的最优完全加括号方式,及构造出问题的一个最优解。
使用动态规划解决矩阵连乘问题
public class MatrixChain {
public static void matrixChain(int[] p,int n,int[][] m,int[][] s ){
for(int i=0;
i
上述迭代算法的运行过程如下图所示:
文章图片
image.png