总体和样本 在数理统计中，不是对所研究的对象全体 ( 称为总体)进行观察，而是抽取其中的部分(称为样本)进行观察获得数据（抽样），并通过这些数据对总体进行推断.
总体 对随机试验的某一数量指标进行试验或观察：
- 试验的全部可能的观察值称为总体
- 每一个可能观察值称为个体
- 总体中所包含的个体的个数称为总体的容量
- 总体中的每一个个体是随机试验的一个观察值，因此它是某一随机变量X 的值
- 一个总体对应一个随机变量X
- 不再区分总体和相应的随机变量，统称为总体X
- X 的分布函数和数字特征称为总体的分布函数和数字特征
- 总体分布一般是未知，或只知道是包含未知参数的分布。
- 为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以获得有关总体的信息，这一抽取过程称为 “抽样”。
- 所抽取的部分个体称为样本。
- 样本中所包含的个体数目称为样本容量。
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。这样得到的随机样本
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是来自总体X的一个简单随机样本，与总体随机变量具有相同的分布。n称为这个样本的容量。
一旦取定一组样本
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，得到n个具体的数值
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，称为样本的一次观察值，简称样本值 。
最常用的一种抽样叫作“简单随机抽样”，其特点：
- 代表性：
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中每一个与所考察的总体有相同的分布. - 独立性：
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是相互独立的随机变量.
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统计是从手中已有的资料--样本值，去推断总体的情况---总体分布F(x)的性质.
样本是联系二者的桥梁
总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本值的规律，因而可以由样本值去推断总体.
若总体的分布函数为F(x)、概率密度函数为f(x),则其简单随机样本的联合分布函数为
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其简单随机样本的联合概率密度函数为
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抽样分布 统计量与经验分布函数
统计量
由样本值去推断总体情况，需要对样本值进行“加工”，这就要构造一些样本的函数，它把样本中所含的（某一方面）的信息集中起来.
这种不含任何未知参数的样本的函数称为统计量.它是完全由样本决定的量.
设
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是来自总体X的一个样本，
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是
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的函数，若g中不含未知参数，则
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是样本的一个统计量。
-
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是样本，也是随机变量 - 统计量是随机变量的函数，故也是随机变量
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是统计量
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的观察值。
样本平均值：
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（它反映了 总体均值 的信息）
样本方差：
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（它反映了总体 方差的信息）
样本标准差 ：
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样本k阶原点矩：
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（它反映了总体k 阶矩的信息）
样本k阶中心矩：
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（它反映了总体k 阶 中心矩的信息）
注意：
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统计量的观察值
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仍分别称为样本均值、样本方差、样本标准差、样本 k 阶（原点）矩以及样本 k 阶中心矩。
统计量的一些性质
设总体X的均值为
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，方差为
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，
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是来自总体X的一个样本，则
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- 若总体X的k阶矩
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存在，则
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（矩估计法的理论根据）
设
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是来自总体F的一个样本，用
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，表示
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中不大于x的随机变量的个数
定义：经验分布函数为
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正态总体的三个常用抽样分布
- 统计量的分布称为抽样分布
- 总体分布已知时，抽样分布虽然是确定的，但一般来说难以求得
- 正态总体的三个常用抽样分布：
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分布
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分布
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分布
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分布
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分布是由正态分布派生出来的一种分布.
定义：设
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相互独立,都服从正态分布
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，则称随机变量：
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所服从的分布为自由度为 n 的
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分布。记为
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分布的性质
- ???????设
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相互独立,都服从正态分布
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，则
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- 设
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，且
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相互独立，则
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，这个性质叫
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分布的可加性. - 若
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，
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分布的数学期望和方差
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T分布
定义：设
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,
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, 且X与Y相互独立，则称变量
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所服从的分布为自由度为 n的 T分布，记为
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。T分布又称为学生氏分布，它的概率密度函数为：
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T分布的性质
- T分布的密度函数关于
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对称，当n充分大时，妻徒刑近似于标准正态分布概率密度函数的图形，再由
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函数的性质有
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，即当n足够大时，
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时，
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设
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，U与V相互独立，则称随机变量
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服从自由度为n1及 n2的F分布，n1称为第一自由度，n2称为第二自由度，记作
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。
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【笔记|概率 + 统计 样本及抽样分布（六）】
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F分布的性质
- 若
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，则
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设
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是来自正太总体
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的样本，
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是样本均值，则有
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，即
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n取不同值时样本均值
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的分布
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定理 2(样本方差的分布)
设
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是来自正太总体
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的样本，
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和
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分别是样本均值和样本方差,则有
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-
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与
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独立
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的分布见右图
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定理 3 (样本均值方差比的分布)
设
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是来自正太总体
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的样本，
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和
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分别是样本均值和样本方差,则有
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定理 4 (两总体样本均值差、样本方差比的分布)
设
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，且X与Y独立,
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是来自X的样本，
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是来自Y的样本，
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和
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分别是这两个样本的样本均值，
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和
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分别是这两个样本的样本方差,则有
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- 若
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