数学建模算法与应用|人口模型（Malthus模型、阻滞增长模型、美国人口的预报模型（例题，matlab工具箱求解））线性代数|算法|matlab

Malthus模型模型假设：

x ( t ) x(t) x(t)表示 t t t时刻的人口数，且 x ( t ) x(t) x(t)连续可微。
人口的增长率 r r r是常数（增长率=出生率-死亡率）。
人口数量的变化是封闭的，即人口数量的增加与减少只取决于人口中个体的生育和死亡，且每一个个体都具有同样的生育能力和死亡率。

建模与求解 t t t时刻到 t + △ t t+\triangle t t+△t时刻人口的增量为
x ( t + △ t ) ? x ( t ) = r x ( t ) △ t x(t+\triangle t)-x(t)=rx(t)\triangle t x(t+△t)?x(t)=rx(t)△t
于是得
{ d x d t = r x x ( t 0 ) = x 0 \begin{cases} \frac{dx}{dt}=rx\\ x(t_0)=x_0 \end{cases} {dtdx?=rxx(t0?)=x0??
其解为
x ( t ) = x 0 e r t x(t)=x_0e^{rt} x(t)=x0?ert
模型评价该模型在预测1700-1961年间世界人口增长与实际情况较为符合，但是当 t 很大时，人口数量就大的惊人，这是因为增长率为常数，所以人口数一直在增加，但实际是增长率是变动的。
阻滞增长模型（Logistic模型）

我们这里要对增长率进行修正。地球上得资源是有限的，随着人口数量的增加，资源对人口增长的限制作用越来越显著，即将增长率r r r表示为人口x ( t ) x(t) x(t)的减函数r ( x ) r(x) r(x)。

模型假设

设 r ( x ) r(x) r(x)为 x x x的线性函数， r ( x ) = r ? s x r(x)=r-sx r(x)=r?sx（工程师原则，首先用线性）。
自然资源与环境条件所能容纳的最大人口数为 x m x_m xm?，即当 x = x m x=x_m x=xm?时，增长率 r ( x m ) = 0 r(x_m)=0 r(xm?)=0。

建模与求解由假设可得 r ( x ) = r ( 1 ? x x m ) r(x)=r(1-\frac{x}{x_m}) r(x)=r(1?xm?x?)，则有
{ d x d t = r ( 1 ? x x m ) x x ( t 0 ) = x 0 \begin{cases} \frac{dx}{dt}=r(1-\frac{x}{x_m})x\\ x(t_0)=x_0 \end{cases} {dtdx?=r(1?xm?x?)xx(t0?)=x0??
其解为
x ( t ) = x m 1 + ( x m x 0 ? 1 ) e ? r ( t ? t 0 ) x(t)=\frac{x_m}{1+(\frac{x_m}{x_0}-1)e^{-r(t-t_0)}} x(t)=1+(x0?xm???1)e?r(t?t0?)xm??
模型检验 d 2 x d t 2 = r 2 ( 1 ? x x m ) ( 1 ? 2 x x m ) x \frac{d^2x}{dt^2}=r^2(1-\frac{x}{x_m})(1-\frac{2x}{x_m})x dt2d2x?=r2(1?xm?x?)(1?xm?2x?)x
人口总数有以下规律：

lim ? x → + ∞ x ( t ) = x m \lim_{x\to+\infty}x(t)=x_m limx→+∞?x(t)=xm?，即无论人口初值如何，人口总数都以 x m x_m xm?为极限。
当 0 < x 0 < x m 0 x m 2 x>\frac{x_m}{2} x>2xm??时， x ( t ) x(t) x(t)为凸函数。
人口变化率 d x d t \frac{dx}{dt} dtdx?在 x = x m 2 x=\frac{x_m}{2} x=2xm??时取到最大值。

【数学建模算法与应用|人口模型（Malthus模型、阻滞增长模型、美国人口的预报模型（例题，matlab工具箱求解））】

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美国人口的预报模型

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建模与求解我们取初值 x ( 1970 ) = 3.9 x(1970)=3.9 x(1970)=3.9，则
x ( t ) = x m 1 + ( x m 3.9 ? 1 ) e ? r ( t ? 1970 ) x(t)=\frac{x_m}{1+(\frac{x_m}{3.9}-1)e^{-r(t-1970)}} x(t)=1+(3.9xm???1)e?r(t?1970)xm??
详细求解步骤见pdf（清风所作）
使用阻滞增长模型预测美国人口.pdf