理论+实践，带你掌握动态规划法

宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。这篇文章主要讲述理论+实践，带你掌握动态规划法相关的知识，希望能为你提供帮助。
本文分享自华为云社区《??五大基础算法--动态规划法??》，作者：大金（内蒙的）。
一、基本概念动态规划法，和分治法极其相似。区别就是，在求解子问题时，会保存该子问题的解，后面的子问题求解时，可以直接拿来计算。
专业的说法是：对于一个规模为n的问题，将其分解为k个规模较小的子问题（阶段），按顺序求解子问题，前一子问题的解，为后一子问题的求解提供了有用的信息。在求解任一子问题时，通过决策求得局部最优解，依次解决各子问题。最后可以通过简单的判断，得到原问题的解。
说法有些晦涩难懂，我给大家解释下：【理论+实践，带你掌握动态规划法】阶段：求解第n个子问题称为第n个阶段。动态规划是按照顺序去求解子问题的，这里子问题的求解顺序很重要。
状态：在求解第n个阶段时，已求解n-1个阶段的解，称为状态。
决策：在求解第n个阶段时，根据状态和计算规则，可以得到第n个阶段时解。
二、基本特征动态规划法所能解决的问题一般具有以下几个特征：
1) 大问题可分解性该问题可以分解为若干个规模较小的问题，即该问题具有最优子结构性质。
2) 子问题易解决性该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决
3) 解可合并性利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；
4) 子问题重叠性当计算出某个子问题的解时，后续多个问题都需要计算该子问题的解，所以在计算某个子问题的解，将其保存，就节省了分治法重复计算的时间。
三、一些误解1.状态转移方程很多博客都说什么状态转移方程，感觉说的很高大上，一般解题上来就是状态转移方程是xxxx，代码是xxxx，翻译下是什么意思呢？
在求解第n个子问题的时候，通过已求解n-1个阶段的解和计算规则，可以得到第n个阶段时解。
即是最新的状态=目前的状态+决策。
2.初始化很多题目解题的时候都说初始化，这并不是动态规划法的步骤。应该正确的去理解这些操作。动态规划在划分子问题求解顺序时，基本是先求解易求解最小的子问题，在由这些已经求解的阶段+计算规则，就能直接求得第n阶段的解。所以初始化的含义是，求得初始阶段的解。
3.边界条件一般题目会说边界是啥，可以理解为怎么判断所有的子问题已经求解结束了。正常人也不会写while（true）吧，你总得让程序结束，判断你已经解决好这个问题了。
四、动态规划法的基本步骤step1 分解：将一个问题分解为多个子问题，需要注意子问题解决的顺序，应该先求解易求解的子问题，且后续的阶段可以通过前面的阶段+决策得到。
step2 状态转移：通过得到的规律，写出状态转移方程。
第n阶段=当前状态+决策（前n个阶段解和计算规则）
step3 写代码：将最先算的阶段计算出来，中间阶段通过状态转移方程计算状态，直到所有阶段计算结束。
step4 得到解：所有阶段计算结束，可以通过简单的统计，例如Max，Min等遍历阶段的值，得到最后的解。
五、经典问题好记性不如烂笔头，有一些适用动态规划法的问题，可以帮我们不断强化的解题思想。在解决问题时，希望大家可以注意判断题目的解决思路，看是否符合动态规划法的四个特征，这样不断强化，才能将算法掌握。
（1）最长回文子串
下面附上我的题解：https://leetcode-cn.com/problems/longest-palindromic-substring/solution/dong-tai-gui-hua-fa-qiu-jie-kan-bu-dong-octkt/

//动态规划法两个基本要素：最优子结构性质和子问题重叠性质。
//很多答案写了初始化和边界条件，个人认为你要分清楚他的目的是什么。
//很多初始化和边界条件，是因为状态转移方程，是需要初始化的子问题的解，从而避免重复计算，说白了还是子问题重叠和最优子结构问题。
//我们应该注重某一个问题的重叠子问题分解和状态最优的决策分析。
//解题思路:
//计算某个字符串时, 如果它首尾字符相等，则它是不是回文，取决于去掉头尾之后的字符串是否为回文串。
//如果它首尾字符不相等，则它一定不是回文
//leetcode submit region begin(Prohibit modification and deletion)
class Solution
public String longestPalindrome(String s)
int len = s.length();
// 特判
if (len < 2)
return s;

int maxLen = 1;
int begin= 0;

// 1. 状态定义
// dp[i][j] 表示s[i...j] 是否是回文串，现在表示全部为0，不是回文串
boolean[][] dp = new boolean[len][len];
char[] chars = s.toCharArray();
// 2. 子问题计算顺序：先计算短字符串，在计算长字符串，同时根据已求得的短字符串或者计算规则，可以得到长字符串的解。

// 注意：s表示计算的元素顺序。
//01234
// 0xx s1s2 s4 s7
// 1xxs3 s5 s8
// 2xx s6 s9
// 3xx s10
// 4xx
// 为什么这么写呢，因为你要保证保证计算某个元素时，通过状态转移方程能得到左上角元素的dp[][]。
// 填表规则：先一列一列的填写，再一行一行的填，保证计算某个元素时，它左上方的单元格已经被计算出了结果
// 填表规则：当然你也可以由左往右一行一行写，这样也能保证计算某个元素时，它左上方的单元格已经被计算出了结果
for (int j = 1; j < len; j++)
for (int i = 0; i < j; i++)
// 头尾字符不相等，不是回文串
if (chars[i] != chars[j])
dp[i][j] = false;
else
// 相等的情况下
// 因为考虑头尾去掉以后没有字符剩余，或者剩下一个字符的时候，肯定是回文串
if (j - i -1 < = 1)
dp[i][j] = true;
else
// 头尾相等，中间有大于1个元素，这个时候，我们无法直接判断他是不是回文，但是我们可以通过状态转移方程去判断

// 其实这个就是在计算s8这个元素时，我们无法判断dp[1][4]在1和4位元素相等时候，整个字符串是否是回文。
// 所以要通过s4去判断，s4是回文，s8就是。s4不是，那s8就不是。
dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1];

// 只要dp[i][j] == true 成立，表示s[i...j] 是否是回文串
// 此时更新记录回文长度和起始位置
if (dp[i][j] & & (j - i + 1 > maxLen))
maxLen = j - i + 1;
begin = i;

// 3. 初始化
// 很多答案写了这个，这一步，我们细想，其实完全没有必要。
// 因为主对角线，值是可以直接判断出来的。
// 而且在求解过程中，我们的状态转移方程不会用到这个值。因为只有主对角线会用到这几个值。
// 而且单个元素的子问题解，我们并不需要。
// 所以，即使我这步初始化放到计算之后，甚至是直接去掉，也完全不影响结果。大家可以自己试一下
// for (int i = 0; i < len; i++)
//dp[i][i] = true;
//
// 4. 返回值
return s.substring(begin,begin + maxLen);