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面试官问我斐波拉契数列，我从暴力递归讲到动态规划 ...

IT知识面试动态规划

农村四月闲人少，勤学苦攻把名扬。这篇文章主要讲述面试官问我斐波拉契数列，我从暴力递归讲到动态规划 ...相关的知识，希望能为你提供帮助。


前言在系统学习动态规划之前，一直搞不懂「动态规划」和「记忆化搜索」之间的区别。
总觉得动态规划只是单纯的难在于对“状态”的抽象定义和“状态转移方程”的推导，并无具体的规律可循。
本文将助你彻底搞懂动态规划。
演变过程暴力递归 -> 记忆化搜索 -> 动态规划
其实动态规划也就是这样演练过来的。
可以说几乎所有的「动态规划」都可以通过「暴力递归」转换而来，前提是该问题是一个“无后效性”问题。
无后效性所谓的“无后效性”是指：当某阶段的状态一旦确定，此后的决策过程和最终结果将不受此前的各种状态所影响。可简单理解为当编写好一个递归函数之后，当可变参数确定之后，结果是唯一确定的。
可能你还是对什么是“无后效性”问题感到难以理解。没关系，我们再举一个更具象的例子，这是 ??LeetCode 62. Unique Paths?? ：给定一个 m x n 的矩阵，从左上角作为起点，到达右下角共有多少条路径（机器人只能往右或者往下进行移动）。

这是一道经典的「动态规划」入门题目，也是一个经典的“无后效性”问题。
它的“无后效性”体现在：当给定了某个状态（一个具体的 m x n 的矩阵和某个起点，如 (1,2)），那么从这个点到达右下角的路径数量就是完全确定的。
而与如何到达这个“状态”无关，与机器人是经过点 (0,2) 到达的 (1,2)，还是经过 (1,1) 到达的 (1,2) 无关。
这就是所谓的“无后效性”问题。
当我们尝试使用「动态规划」解决问题的时候，首先要关注该问题是否为一个“无后效性”问题。
1：暴力递归经常我们面对一个问题，即使我们明确知道了它是一个“无后效性”问题，它可以通过「动态规划」来解决。我们还是觉得难以入手。
这时候我的建议是，先写一个「暴力递归」的版本。
还是以刚刚说到的 ??LeetCode 62. Unique Paths?? 举例：

class Solution
public int uniquePaths(int m, int n)
return recursive(m, n, 0, 0);


private int recursive(int m, int n, int i, int j)
if (i == m - 1 || j == n - 1) return 1;
return recursive(m, n, i + 1, j) + recursive(m, n, i, j + 1);


当我还不知道如何使用「动态规划」求解时，我会设计一个递归函数 ??recursive()?? 。
函数传入矩阵信息和机器人当前所在的位置，返回在这个矩阵里，从机器人所在的位置出发，到达右下角有多少条路径。
有了这个递归函数之后，那问题其实就是求解 ??recursive(m, n, 0, 0)??：求解从 (0,0) 到右下角的路径数量。
接下来，实现这个函数：
  1. Base case: 由于题目明确了机器人只能往下或者往右两个方向走，所以可以定下来递归方法的 base case 是当已经处于矩阵的最后一行或者最后一列，即只一条路可以走。
  2. 其余情况：机器人既可以往右走也可以往下走，所以对于某一个位置来说，到达右下角的路径数量等于它右边位置到达右下角的路径数量 + 它下方位置到达右下角的路径数量。即 ??recursive(m, n, i + 1, j) + recursive(m, n, i, j + 1)??，这两个位置都可以通过递归函数进行求解。
其实到这里，我们已经求解了这个问题了。
但这种做法还有个严重的性能问题。
2：记忆化搜索如果将我们上述的代码提交到 LeetCode，会得到 timeout 的结果。
可见「暴力递归」的解决方案“很慢”。
我们知道所有递归函数的本质都是“压栈”和“弹栈”。
既然这个过程很慢，我们可以通过将递归版本暴力解法的改为非递归的暴力解法，来解决 timeout 的问题吗？
答案是不行，因为导致 timeout 的原因不在于使用“递归”手段所带来的成本。
而在于在计算过程，我们进行了多次的重复计算。
我们尝试展开递归过程第几步来看看：

不难发现，在递归展开过程会遇到很多的重复计算。
随着我们整个递归过程的展开，重复计算的次数会呈倍数增长。
这才是「暴力递归」解决方案“慢”的原因。
既然是重复计算导致的 timeout，我们自然会想到将计算结果进行“缓存”的方案：
class Solution
private int[][] cache;

public int uniquePaths(int m, int n)
cache = new int[m][n];
for (int i = 0; i < m; i++)
int[] ints = new int[n];
Arrays.fill(ints, -1);
cache[i] = ints;

return recursive(m, n, 0, 0);


private int recursive(int m, int n, int i, int j)
if (i == m - 1 || j == n - 1) return 1;
if (cache[i][j] == -1)
if (cache[i + 1][j] == -1)
cache[i + 1][j] = recursive(m, n, i + 1, j);

if (cache[i][j + 1] == -1)
cache[i][j + 1] = recursive(m, n, i, j + 1);

cache[i][j] = cache[i + 1][j] + cache[i][j + 1];

return cache[i][j];


对「暴力递归」过程中的中间结果进行缓存，确保相同的情况只会被计算一次的做法，称为「记忆化搜索」。
做了这样的改进之后，提交 LeetCode 已经能 AC 并得到一个不错的评级了。
我们再细想一下就会发现，其实整个求解过程，对于每个情况（每个点）的访问次数并没有发生改变。
只是从「以前的每次访问都进行求解」改进为「只有第一次访问才真正求解」。
事实上，我们通过查看 ??recursive()?? 方法就可以发现：
当我们求解某一个点 (i, j) 的答案时，其实是依赖于 (i, j + 1) 和 (i + 1, j) 。
也就是每求解一个点的答案，都需要访问两个点的结果。
这种情况是由于我们采用的是“自顶向下”的解决思路所导致的。
我们无法直观确定哪个点的结果会在什么时候被访问，被访问多少次。
所以我们不得不使用一个与矩阵相同大小的数组，将所有中间结果“缓存”起来。
换句话说，「记忆化搜索」解决的是重复计算的问题，并没有解决结果访问时机和访问次数的不确定问题。
2.1：次优解版本的「记忆化搜索」关于「记忆化搜索」最后再说一下。
【面试官问我斐波拉契数列，我从暴力递归讲到动态规划 ...】网上有不少博客和资料在编写「记忆化搜索」解决方案时，会编写类似如下的代码：
class Solution
private int[][] cache;

public int uniquePaths(int m, int n)
cache = new int[m][n];
for (int i = 0; i < m; i++)
int[] ints = new int[n];
Arrays.fill(ints, -1);
cache[i] = ints;

return recursive(m, n, 0, 0);


private int recursive(int m, int n, int i, int j)
if (i == m - 1 || j == n - 1) return 1;
if (cache[i][j] == -1)
cache[i][j] = recursive(m, n, i + 1, j) + recursive(m, n, i, j + 1);

return cache[

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