数学方程和特解离散数学

（a）齐次线性差分方程和特解：
通过将初始条件的值放入齐次解中, 可以找到当方程为齐次线性型时差分方程的特定解。
示例1：求解差分方程2ar-5ar-1 + 2ar-2 = 0并找到特定解, 使得a0 = 0和a1 = 1。
解决方案：特征方程为2s2-5s + 2 = 0（2s-1）（s-2）= 0 s =和2。
因此, 方程的齐次解为
ar（h）= C1 + C2 .2r … … … .方程（i）
将r = 0和r = 1放在等式（i）中, 我们得到a0 = C1 + C2 = 0 … … … ..等式（a）a1 = C1 + 2C2 = 1 … .. … … 等式（b）
求解方程（a）和（b）, 我们有C1 =-和C2 =
因此, 特定的解决方案是
示例2：求解差分方程ar-4ar-1 + 4ar-2 = 0并找到特定解, 使得a0 = 0和a1 = 6。
解决方案：特征方程为s2-4s + 4 = 0或（s-2）2 = 0 s = 2, 2
因此, 方程的齐次解由ar（n）=（C1 + C2 r）.2r … … … … ..方程（i）给出
将r = 0和r = 1放在等式（i）中, 我们得到a0 =（C1 + 0）.20 = 1 1 C1 = 1 a1 =（C1 + C2）.2 = 6 C1 + C2 =3?C2 = 2
因此, 特定的解决方案是ar（P）=（1 + 2r）.2r。
示例3：求解满足条件a0 = 0和a1 = 2的差分方程9ar-6ar-1 + ar-2 = 0。
解决方案：特征方程为
9秒
-6s + 1 = 0或（3s-1）
=0
s =
因此, 方程的齐次解由ar（h）=（C1 + C2 r）给出。 … … … .等式（i）
将等式（i）中的r = 0和r = 1, 我们得到a0 = C_1 = 0 a1 =（C1 + C2）。= 2。 ∴C1+ C2 =6?C2= 6
因此, 特定的解决方案是ar（P）= 6r。
（b）非齐次线性差分方程和特解：
有两种方法可以找到非齐次线性差分方程的特定解。这些如下：

不确定系数法
E和?运算符方法。

1.不确定系数法：此方法用于查找非齐次线性差分方程的特定解, 其R.H.S项R（n）由特殊形式的项组成。
在这种方法中, 首先我们根据包含一些未知常数的R（n）的类型, 假定特定解的一般形式, 必须确定这些常数。然后根据差分方程, 我们将确定精确解。
表中显示了为特定形式的R（n）所假定的特定解的一般形式, 以找到确切的解。

Form of R (n)	假定的一般形式
Z, 这里z是常数	A
Zr, 这里z是常数	Zr
P（r）, 阶n的多项式	A0 rn + A1 rn-1 +?..An
锆P（r）, 这里P（r）是r中的n次多项式。 Z是一个常数。	[A0 rn + A1 rn-1 +?..An] .Zr

例1：找到差分方程ar + 2-3ar + 1 + 2ar = Zr … … ..方程（i）的特定解
Z是一些常数。
解：解的一般形式是= A. Zr
现在将此解决方案放在等式（i）的L.H.S上, 我们得到= A Zr + 2-3AZr + 1 + 2AZr =（Z2-3Z + 2）A Zr … … … 等式（ii）
将等式（ii）与等式（i）的R.H.S等同, 我们得到（Z2-3Z + 2）A = 1 A =（Z≠1, Z≠2）
因此, 特定的解决方案是
例2：找到差分方程ar + 2-5ar + 1 + 6ar = 5r的特定解… … … … .方程（i）
解：让我们假设解的一般形式= A. 5r。
现在找到A的值, 将此解决方案放在等式（i）的L.H.S上, 则其变为= A.5r + 2-5.A5r + 1 + 6.A5r = 25A。 5r-25A.5r + 6A.5r = 6A.5r … … … … 方程（ii）
将方程（ii）等同于方程（i）的R.H.S, 我们得到A =
因此, 差分方程的特定解为= .5r。
例3：求出差分方程ar + 2 + ar + 1 + ar = r.2r … … … .方程（i）的特定解
解：让我们假设解的一般形式=（A0 + A1r）。 2 ^ r
现在, 将这些解放在等式（i）的LHS中, 我们得到= 2r + 2 [A0 + A1（r + 2）] + 2r + 1 [A0 + A1（r + 1）] + 2r（A0 + A1 r）=4。2r（A0 + A1 r + 2A1）+ 2.2r（A0 + A1 r + A1）+ 2r（A0 + A1 r）= r。 2r（7A1）+ 2r（7A0 + 10A1）… … … … （ii）
将等式（ii）与等式（i）的R.H.S等同, 我们得到7A1 = 1∴A1 = 7A0 + 10A1 = 0∴A0 =
因此, 特定的解决方案是
2. E和?运算符方法：
运算符E的定义：f（x）上E的运算符表示使函数中x的值增加。 E的运算是将（x + h）放到有x的函数中。这里, h是增量量。所以Ef（x）= f（x + h）
此处, E在f（x）上进行运算, 因此, E是称为移位运算符的符号。
运算符?的定义：运算?是两步运算。
首先, 函数中的x增加一个常数, 然后从后一个减去前一个, 即?f（x）= f（x + h）-f（x）
定理1：证明E?1+ ?。
证明：?在f（x）上的运算分为两个步骤。首先, 在函数中增加x的值。因此, 只要在f（x）中存在x, 就将x + h（此处h是恒定增量）放进去, 这意味着E在f（x）上的运算, 即f（x + h）= Ef（x）。
其次, 从第一步获得的值中减去原始函数, 因此?f（x）= Ef（x）-1f（x）=（E-1）f（x）
因此, ?在f（x）上的运算等效于（E-1）在f（x）上的运算。
因此, 我们有E?1+ ?。
定理2：证明En f（x）= f（x + nh）。
证明：我们知道E f（x）= f（x + h）
现在En f（x）= EEEE … … .. n次f（x）= En-1 [E f（x）] = En-1 f（x + h）= En-2 [E f （（x + h）] = En-2 f（x + 2h）… … … … … … … … … … … … … … … … … .. … … … . = E f [x +（n-1）h] = f（x + nh）。
定理3：证明E Cf（x）= CE f（x）
证明：我们知道E c f（x）= C f（x + h）= CE f（x + h）。因此证明。
E的运算对任何常数都没有影响。因此, E对任何常数的运算将等于常数本身。
通过E和?算子方法, 我们将找到+ r + C1在+ r-1 + C2在+ r-2 +?+ Cn yn = R（n）时的C0解… … … … ..方程式（i）
等式（i）可以写成C0 Er in + C1 Er-1 in + C2 Er-2 in +?+ Cn in = R（n）（C0 Er + C1 Er-1 + C2 Er-2 +?+ Cn） in = R（n）放C0 Er + C1 Er-1 + C2 Er-2 +?+ Cn = P（E）
因此, P（E）at = R（n）∴in = … … .等式（ii）
为了找到不同形式的R（n）的（ii）特定解, 我们有以下几种情况。
情况1：当R（n）为常数A时。
我们知道, E在任何常数上的运算都将等于常数本身, 即EA = A因此, P（E）A =（C0 Er + C1 Er-1 + C2 Er-2 +?+ Cn）A =（C0 + C1 + C2 +?+ Cn）A = P（1）A因此, 使用等式（ii）, （i）的特定解为yn =, P（1）≠0
通过将E = 1放在P（E）中获得P（1）。
情况2：当R（n）的形式为A. Zn, 其中A和Z为常数
我们有P（E）（A.Zn）= {C0 Er + C1 Er-1 +?+ Cn}（A.Zn）= A {C0 Zr + n + C1 Zr + n-1 +?+ Cn Zn } = A {C0 Zr + C1 Zr-1 +?+ Cn}。锌= AP（Z）.Zn
为了得到, P（Z）将E = Z放在P（E）中
因此, 假设P（Z）≠0
因此, 在=中, P（Z）≠0
如果A = 1, 则yn =
当P（Z）= 0时, 则为等式
（i）（E-Z）at =锌
为此, 特定的溶液变为A。Zn＝ A。锌1
（ii）（E-Z）2 in = A.Zn
为此, 特定的解决方案成为
（iii）（E-Z）3英寸= A.Zn
为此, 特定的解决方案变得如此等等。
情况3：当R（n）是次数为m的多项式时, n为n。
我们知道E?1+ ?所以, P（E）= P（1 + ?）

可以将?的上升功率扩展到?m
?=（b0 + b1 ? + b2 ? +?。+ bm ?m +?）?.R（n）=（b0 + b1 ? + b2 ? +?。+ bm ?m +?）.R（n）= b0 R（n）+ b1 ? R（n）+?+ bm ?m R（n）
所有其他较高项将为零, 因为R（n）是次数为m的多项式。
因此, 在这种情况下, 方程式（i）的特定解为
in = b0 R（n）+ b1 ? R（n）+?+ bm ?m R（n）。
情况4：当R（n）的形式为R（n）.Zn时, 其中R（n）是度为m的多项式, Z为某个常数
我们有Er [Zn R（n）] = Zr + n R（n + r）= Zr.Zn.Er.R（n）= Zn（ZE）rR（n）
同样, 我们有[Zn R（n）] = Zn。（R（n））= Zn [P（Z + Z?）]-1.R（n）
因此, 在这种情况下, 公式（i）的特定解将是yn = Zn [P（Z + Z?）]-1.R（n）
示例1：找到差分方程2ar + 1-ar = 12的特定解。
解：上面的等式可以写成（2E-1）ar = 12
具体解决方案由ar = .12给出
将E = 1放在等式中。特定的解决方案是ar = 12
示例2：找到差分方程ar-4ar-1 + 4ar-2 = 2r的特定解。
解：上面的等式可以写成（E2-4E + 4）ar = 2r
因此, P（E）= E2-4E + 4 =（E-2）2
【数学方程和特解】因此, 特定的解决方案由