数学之美(22)——英年早逝却光芒四射的拉姆塞理论
拉姆塞是位天才的英国科学家,只活了26岁。在他去世的1930年,他发表了一篇学术论文,其副产物就是所谓拉姆塞理论。
引例:
在1947年的匈牙利数学竞赛上有一个有趣的题目:
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who knows me? 求证:6个人同行,其中或有3个人两两相识,或有3个人两两不相识。
这是一个图的问题,如图1所示,我们标出A . B. C. D. E. F 代表这6个人,如果认识,我们用蓝色的线连起来,如果不认识,我们用红色的线连起来。这个问题转化为了证明总会出现红色三角形(三条线都是红色)或者蓝色三角形(三条边都是蓝色)。
事情用图来说明,不难理解了,比如从A出发的有5条线,根据抽屉原理,至少有3条同色。假如是AB、AC、AD同色(蓝色)。如果三角形BCD是红色的,问题就解决了(3个人两两不相识),若BD、CD、BC中至少有一个是蓝色的,比如BD是蓝色的,那三角形ABC就是蓝色的了(3个人两两相识)。如下图1.
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图1 于是这个问题就解决了。
这个问题引起了数学界的兴趣,从中引出了更深刻更一般的问题:
有若干个点,点与点之间用红色或蓝色线段连接,至少一定能出现多少个同色三角形(各边均为红色或蓝色).
数学家古德曼曾经在1959年证明了:
当n=2m(偶数)时,同色三角形至少有:个;
【数学之美(22)——英年早逝却光芒四射的拉姆塞理论】当n=4m+1时,同色三角形至少有:个;
当n=4m+3时,同色三角形至少有:个;
如果做更深层次的研究,研究集合中元素之间或子集之间的关系,就可以问:有没有一些特定关系的元素或子集存在?经过研究发现,只要集合足够大,总能找到各式各样的子集。
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这类问题的研究是数学上的一个分支,叫“拉姆塞理论”.
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