最大值|x^2+y^2=9,m^2+n^2=1,求mx+ny的最大值
已知x^2+y^2=9,m^2+n^2=1,求mx+ny的最大值
主要内容：
以柯西不等式、三角换元法和多元函数极值法介绍mx+ny在已知条件下求最大值的主要过程步骤。
文章插图
柯西不等式法：
∵(x^2+y^2)(m^2+n^2)≥(xm+yn)^2
∴9*1≥(mx+ny)^2,
即：-3≤mx+ny≤3,
所以mx+ny的最大值为3。
三角换元法：
设x=3sint，y=3cost，
m=sink，n=cosk，则：
mx+ny
=3sintsink+3costcosk
=3cos(k-t),
所以当cos(k-t)=1时，有最大值，即：
mx+ny的最大值=3。
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多元函数最值法
设F(x,y,m,n, λ)=mx+ny+λ1(x^2+y^2-9)+2λ2(m^2+n^2-1)。
分别对参数求偏导数得：
Fx=m+2xλ1,Fy=n+2yλ1,Fm=x+2mλ2，
Fn=y+2nλ2，Fλ1=x^2+y^2-9,
Fλ2=m^2+n^2-1,
令上述六个偏导数为0，则：
x=-m/2λ1=-m/2λ2,
y=-n/2λ1=-n/2λ2,
解得：2λ1=2λ2=±1/3,
此时mx+ny的最大值
=m*m/2λ1+n*n/2λ1
=(m^2+n^2)/2λ1
=1/(1/3)
【 最大值|x^2+y^2=9,m^2+n^2=1,求mx+ny的最大值】=3。
