webgl|《前端图形学从入门到放弃》002 教练我想学矩阵

本文大纲

  • 矩阵和线性变换是什么?
  • webgl如何实现缩放和旋转?
  • 平移不是线性变换,那该怎么办?
  • webgl如何实现平移?
今天的主菜是“矩阵” 在上一篇中我们已经实现了使用webgl绘制图形这个小目标《前端图形学从入门到放弃》001 画一个三角形
今天我们来探讨一个新的话题矩阵
我们都知道空间中的点我们可以用向量表示,例如二维平面中的点(1,1)就表示第一象限的点:
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而多个点就能组成图形,这也是上一篇文章中我们说过的。
实际生产中这些图形往往并不会固定在画面中不懂,例如我们可以对图形进行旋转,缩放,移动。
实际上这个过程就是将图形的顶点组进行了旋转,缩放,移动,成为了新的顶点组,再由新的顶点组绘制成新的图形。
例如我们要将由点A(0,0),B(1,0),C(0,1)组成的三角形放大一倍,那么我们很容易知道放大后的点???的坐标
?x = Ax 2 = 02 = 0
?y = Ay 2 = 02 = 0
?x = Bx 2 = 12 = 2
?y = By 2 = 02 = 0
?x = Cx 2 = 02 = 0
?y = Cy 2 = 12 = 2
数学家嫌这一番操作太过麻烦,而点又是可以写成向量形式的,要是能把操作简化成? = M*A的形式就再好不过了,于是
? 20 ? ? = ?? * A ? 02 ?

真是一顿操作猛如虎,一句不懂二百五
解剖矩阵 举证代表了一种计算,如上我们使用了一个二维矩阵
? AB ? ? CD ?

与一个二维向量相乘,会得到一个新的二维向量,计算公式如下
? AB ??x?=? A*x + B*y ? ? CD ??y?? C*x + D*y ?

当然矩阵也不仅仅可以和向量相乘也可以和举证相乘,矩阵也不仅仅可以是22,也可以是33,更可以是n*m(n代表行数,m代表列数)。
两个矩阵可以相乘只需要,前一个矩阵的列数和后一个矩阵的函数相等即可。
例如nm的举证可以和ml的矩阵相乘,得到n*l的矩阵。
至于计算方法不是本文讨论的内容,推荐观看3blue1brown的视频。
缩放矩阵 与 旋转矩阵
而上文我们看到的矩阵
? 20 ? ? 02 ?

就是一个把任意点放大两倍的矩阵,更一般的,如果可以写出缩放矩阵(n≠0)
? n0 ??x?=? n*x ? ? 0n ??y?? n*y ?

相比于缩放还有一种操作也很高频,那就是旋转。前面没有提到,矩阵的变换是线性的。什么叫做线性?也是是说同样的操作(放大2倍)对A点产生的效果,和对B点产生的效果(放大2倍)是一样的。
所以对于旋转矩阵我们也可以找到特殊的点进行求解,从而得到普遍适用的矩阵
对于x轴上的点a,旋转?角后,可以用下图描述
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我们就得到了二维平面上的旋转矩阵
? cos?-sin? ? ? sin?cos? ?

webgl和矩阵更配哟~ 下面我们把矩阵和webgl结合起来,让《前端图形学从入门到放弃》001 画一个三角形中我们实现的三角形可以旋转与缩放
首先我们在页面上添加两个滑块分辨实现旋转与缩放

由于旋转和缩放操作仅仅影响顶点位置,下面我们之需要修改顶点着色器即可:

这两个申明的变量也要在js中取出
... var positionAttribLocation = gl.getAttribLocation(program, 'vertPosition'); var colorAttribLocation = gl.getAttribLocation(program, 'vertColor'); var scaleMatrix = gl.getUniformLocation(program, 'scaleMatrix'); var rotateMatrix = gl.getUniformLocation(program, 'rotateMatrix'); ...

由于我们期望在滑动滑块时,页面实时变化,因此需要一个loop函数来完成这一切:
.... gl.useProgram(program); gl.drawArrays(gl.TRIANGLES, 0, 6); loop(gl, rotateMatrix, scaleMatrix); } ...

loop函数:
var scaleNode = document.querySelector("#scale"); var rotateNode = document.querySelector("#rotate"); function loop(gl, rotateMatrix, scaleMatrix) { var angle = rotateNode.value/180*Math.PI; var scale = scaleNode.value; var sin = Math.sin(angle); //旋转角度正弦值 var cos = Math.cos(angle); //旋转角度余弦值 var myArr = new Float32Array([cos, -sin, sin, cos,]); var scaleArr = new Float32Array([scale, 0, 0, scale,]); gl.uniformMatrix2fv(rotateMatrix, false, myArr); gl.uniformMatrix2fv(scaleMatrix, false, scaleArr); gl.clearColor(0.75, 0.85, 0.8, 1.0); gl.clear(gl.COLOR_BUFFER_BIT | gl.DEPTH_BUFFER_BIT); requestAnimationFrame(function () { loop(gl, rotateMatrix, scaleMatrix); }); gl.drawArrays(gl.TRIANGLES, 0, 3); }

大功告成:

教练我动不了了 不知道各位看官有没有发现,在矩阵这套线性变化下,我们没办法做平移操作。因为作为原点的o(0,0)不论乘以什么矩阵,结果都还是自己。但是平移操作是日常工作中极其常见的操作,不能平移甚至无法实现拖拽!
难道图形学之路就此gg?
但天无绝人之路,只要零点不是零点我就可以移动它,对于二维平面,我可以把它看作三维世界中一个不过原点的平面,原本的(x,y)变为(x,y,1)
此时就可以实现平移
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根据上文,我们已经了解的矩阵知识,不难写出
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而这种通过n+1维实现了n维线性变换外加移动操作的变换,就被称为齐次变换
webgl和齐次变换更配哟~
下面我们继续改造原有的webgl代码!
首先我们还需要加入两个滑块分别控制,图形上下和左右运动
...

【webgl|《前端图形学从入门到放弃》002 教练我想学矩阵】由于齐次变换将所有的矩阵都升维了,我们需要改造定点着色器。

由于矩阵从二维变为三维,取出的变量也需要重新定义为三维:
... var trMatrix = gl.getUniformLocation(program,'transformMatrix'); var scaleMatrix = gl.getUniformLocation(program, 'scaleMatrix'); var rotateMatrix = gl.getUniformLocation(program, 'rotateMatrix'); ... // 获取滑块 var tranXNode = document.querySelector("#tranX"); var tranYNode = document.querySelector("#tranY"); // 修改loop函数 ... loop(gl, rotateMatrix, scaleMatrix,trMatrix); } function loop(gl, rotateMatrix, scaleMatrix,trMatrix) { ... var myArr = new Float32Array([cos, sin, 0 , -sin, cos, 0,0,0,1]); var scaleArr = new Float32Array([scale, 0, 0,0, scale,0,0,0,1]); var tranArr = new Float32Array([1,0,0,0,1,0,tranXNode.value,tranYNode.value,1]); // console.log(tranXNode.value); gl.uniformMatrix3fv(rotateMatrix, false, myArr); gl.uniformMatrix3fv(scaleMatrix, false, scaleArr); gl.uniformMatrix3fv(trMatrix, false, tranArr); ....

大功告成:

下期预告
我想二维的世界,大家也腻了,下篇我们将进入三维世界,并说说光线是如何影响物体的