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排序|排序 | 基数排序 Radix Sort

【算法】基数排序 前面介绍的各类排序方法(快速排序，归并排序，插入排序等)都是建立在关键字比较的基础上，而分配类排序不需要比较关键字的大小。它是根据关键字中各位的值，通过对待排序记录进行若干趟“分配”与“收集”来实现排序的，是一种借助于多关键字排序的思想对单关键字排序的方法。
基数排序（Radix Sorting）就是典型的分配类排序。
基本思想：
基数排序(Radix Sorting)是桶排序的扩展。
它的基本思想是：将整数（十进制）按位数切割成不同的数字，然后按每个位数分别进行比较。
具体做法是：找出所有待比较的整数中的最大值，求出最大的数位长度，将所有待比较的整数统一成同样的数位长度，数位较短的数前面补零，然后按每个位数分别进行比较。
分类：
按照位数比较顺序的不同，将其分为LSD（Least significant digital）和MSD（Most significant digital）两类。

  • 最低位优先法(LSD)
    从最低位（个位）开始，依次进行一次排序，直到到达最高位。这样从最低位排序，一直到最高位排序完成以后, 数列就变成一个有序序列。
  • 最高位优先法(MSD)
    从最高位开始，依次进行一次排序，直到到达最低位（个位）。
  • MSD与LSD在分配收集过程中的不同
    MSD：当待排序序列按照位数不同进行分配后，相当于进入了多个子序列， 后续的排序工作分别在各个子序列中进行。
    LSD：每次分配和收集都是相对于整个序列而言的。
LSD图文说明：【最低位优先法】
假设对一待排序序列 {50，123，543，187，49，30，0，2，11，100} 进行基数排序（最低位优先法），该序列的最大数位是3(即百位)，每个数位的范围为[0,9]。
  1. 首先将各个整数按照其个位数字的不同进行分配，分配表如下图所示：

    排序|排序 | 基数排序 Radix Sort
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    个位数分配表 借助个位数分配表，按照先后顺序，收集后得到的序列为 {50，30，0，100，11，2，123，543，187，49}。
  2. 在该序列的基础上，按照十位数字的不同进行分配，分配表如下图所示：

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    十位数分配表 借助十位数分配表，按照先后顺序，收集后得到的序列为 {0，100，2，11，123，30，543，49，50，187}。
  3. 在该序列的基础上，按照百位数字的不同进行分配，分配表如下图所示：

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    百位数分配表 借助百位数分配表，按照先后顺序，收集后得到的序列为 {0，2，11，30，49，50，100，123，187，543}。
通过上述三次分配和收集，我们最终得到了一个排序好的有序序列：{0，2，11，30，49，50，100，123，187，543}。
实现代码：【C++ & LSD版】
//【基数排序】 #include #include #include // 包含pow函数 using namespace std; int n; int a[200010]; // 获取数组a中最大的数 // a -- 数组 // n -- 数组长度 int get_max(int a[],int n) { int max=a[0]; for(int i=1; imax)max=a[i]; } return max; }//对数组按照"某个位数"进行排序(桶排序) // a -- 数组 // n -- 数组长度 // exp -- 指数。对数组a按照该指数进行排序 // 当exp=1，表示按照"个位"对数组a进行排序 // 当exp=10，表示按照"十位"对数组a进行排序 void countsort(int a[],int n,int exp) { int temp[n]; int bucket[10]={0}; // 将exp对应的位数放入对应的桶中 for(int i=0; i=0; i--)//这里要从右向左扫描，保证排序稳定性 { temp[bucket[(a[i]/exp)%10]-1]=a[i]; // 注意temp数组下标要减一，因为数组temp下标是从0开始的 bucket[(a[i]/exp)%10]--; // 每放入一个数据，对应的bucket[]数组的值应减一 } // 将排序好的数据(保存在数组temp中)赋值给数组a for(int i=0; i 0; exp *= 10) countsort(a, n, exp); // 按照某位数(exp)，对数组a进行排序 }int main() { scanf("%d",&n); for(int i=0; i

运行结果： 排序|排序 | 基数排序 Radix Sort
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LSD版 MSD图文说明：【最高位优先法】
还是上面那个例子，还是那个待排序序列 {50，123，543，187，49，30，0，2，11，100}，我们采用最高位优先法进行排序。
  1. 首先按照百位数的不同进行分配，得到的分配表如下图所示：

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    百位数分配表 由上图（百位数分配表）可知，整个待排序序列被分为3个子序列。
  2. 对这三个子序列（序列1、2、3）按照十位数的不同进行分配，其中，序列1和序列2中含有多个值（大于等于2个）， 序列3中仅含有一个值。因此，我们仅需要对序列1和序列2进行再分配。（根据最高位优先法的完成排序标准）得到的分配表如下图所示：

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    十位数分配表 最高位优先法完成排序的标准为：直到每个子序列中只有一个关键字为止。（这也是程序中递归结束的条件）
  3. 完成十位数的分配后，我们需要对序列4（由序列1分配而形成），按照个位数的不同进行再分配。

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    个位数分配表
  4. 【排序|排序 | 基数排序 Radix Sort】完成了上述三次分配过程（实际上进行了4次，按照十位数分配的过程进行了两次），我们还需要根据递归的顺序，进行**收集。
我们最终得到了一个排序好的有序序列：{0，2，11，30，49，50，100，123，187，543}。
在这里我手写了一个简单的排序过程，配合下面的实现代码，可以帮助理解。

排序|排序 | 基数排序 Radix Sort
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上图没有递归弹回的过程，这里简述一下。
从子序列｛0，2｝开始弹回，到最终的子序列｛543｝：
｛0，2｝-> ｛11，30，49，50｝-> ｛100，123，187｝->｛543｝。
最终再根据各个值在数组中的位置，进行收集，即可得到最终的有序序列。
实现代码：【C++ & MSD版】
#include #include #include// 含有pow函数 #include// 含有memset、memcpy函数 using namespace std; int n; int arr[100010]; //输入优化【适用于正负整数】 inline int read() { int X=0,w=0; char ch=0; while(!isdigit(ch)) { w|=ch=='-'; ch=getchar(); } while(isdigit(ch)) X=(X<<3)+(X<<1)+(ch^48),ch=getchar(); return w?-X:X; }//输出优化【适用于正负整数】 inline void write(int x) { if(x<0) putchar('-'),x=-x; if(x>9) write(x/10); putchar(x%10+'0'); }// 获取数组所有整数中的最高位数 int getmax(int arr[]) { // 获取数组中的最大整数 int max=arr[0]; for(int i=1; imax)max=arr[i]; } // 获取最大整数max的位数 int count=1; // count：位数，初始为1 while(max/10>=1) { count++; // 位数+1 max/=10; // 即 max=max/10; } return count; // 返回最高位数count }//获取整数x第d位的值 // 例如，当x==1450，d==4，此时getdigit函数返回1(位于千位上的数) //当x==1450，d==3，此时getdigit函数返回4(位于百位上的数) int getdigit(int x,int d) { if(d>1) { int exp=pow(10,d-1); //【坑点：注意是10^(d-1)，这个坑卡了我好长时间】 return (x/exp)%10; } else return x%10; }//【基数排序】 // 根据第d位的原则，对数组arr[begin...end]的值进行一趟基数排序 // 当d==4，表示对千位进行基数排序 void radixsort(int arr[],int begin,int end,int d) { // 数组count,flag,temp初始化，均数组中的值初始化为0 int count[10]={0}; // // 等价于 memset(count,0,sizeof(count)); int flag[10]={0}; // 统计数组arr[begin...end]所有值中，第d位对应值(0~9)的个数。当个数小于2时(flag[i]<2)，不需要再进行基数排序 int temp[10]={0}; // cout的一个拷贝，因为后面有操作count[i]--,破坏了count本来的值，所以需要有一个拷贝 int *bucket=new int[end-begin+1]; // 动态申请数组bucket，用于暂时存储数组arr[begin...end]的值 //int *bucket = (int *) malloc((end-begin+1) * sizeof(int)); for(int i=begin; i<=end; i++)// { count[getdigit(arr[i],d)]++; // 统计数组arr[begin...end]所有值中，第d位对应值(0~9)的个数。 //flag[getdigit(arr[i],d)]++; //temp[getdigit(arr[i],d)]++; }memcpy(flag,count,10*sizeof(int)); // 将数组count复制(拷贝)给数组flag【memcpy函数】 for(int i=1; i<10; i++)// 注意i从1开始，因为第d位对应值为0的数量上限为count[0]，不需要进行操作 { count[i]+=count[i-1]; // count[i]表示：第d位对应值为i的数量上限 //temp[i]+=temp[i-1]; }memcpy(temp,count,10*sizeof(int)); // 将数组count拷贝给数组temp【memcpy函数】 //这里要从右向左扫描，保证排序稳定性 for(int i=end; i>=begin; i--) { int j=getdigit(arr[i],d); // 获取整数arr[i]第d位对应的值 bucket[count[j]-1]=arr[i]; // 将arr[i]放入对应的临时存储数组bucket中 // 注意bucket数组下标要减一，因为数组bucket下标是从0开始的 count[j]--; // 每放入一个数据，对应的数组count的值应减一 // 也正是这个操作，使得数组count原来的值发生改变。 }//将排序好的数据(保存在数组bucket中)赋值给数组a int index=0; // 数组bucket的下标，从0开始 for(int i=begin; i<=end; i++) { arr[i]=bucket[index]; index++; }delete []bucket; // 释放数组bucket的内存 //free(bucket); int p1=0; // 第d位对应值为i的桶顶索引(数量下限) int p2=0; // 第d位对应值为i的桶底索引(数量上限) int front; // 记录第i-1个桶的值temp[i-1]。 // if(i==0) front=0；else front=temp[i-1] for (int i = 0; i < 10; ++i) { // 当桶的元素数量大于等于2时，即桶中至少有两个元素，才进行一趟基数排序 if(flag[i]>=2) { // 计算出数量下限 if(i==0) front=0; else front=temp[i-1]; p1=begin+front; // 计算出数量上限 if(i<9) p2=begin+temp[i]-1; else p2=end; if (p1 < p2 && d > 1)// 当数量上限大于数量下限 且 位数d大于1 时，对数组arr[p1...p2]进行基数排序【递归】 { radixsort(arr, p1, p2, d - 1); // 递归调用，进行基数排序，数位降1(d-1) } } } }int main() { scanf("%d",&n); int t; for(int i=0; i

运行结果： 排序|排序 | 基数排序 Radix Sort
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MSD版 算法特点：
  • 是稳定排序。
  • 可用于链式结构，也可用于顺序结构。
  • 时间复杂度可以突破基于关键字比较一类方法的下界O(n*)，达到O(n)。
  • 基数排序使用条件有严格的要求：需要知道各级关键字的主次关系和各级关键字的取值范围。（如在对整数进行排序的过程中，每个位数的值都在0~9的范围内）
  • LSD的基数排序适用于位数少的数列；如果位数多的话，使用MSD的效率会比较好。
写在最后：
参考资料：
  • 《数据结构(C语言版) (第2版)》严蔚敏
  • 博客：https://www.cnblogs.com/skywang12345/p/3603669.html
  • 博客：http://www.cnblogs.com/Braveliu/archive/2013/01/21/2870201.html (基数排序的稳定性分析)
  • CSDN博客：https://blog.csdn.net/double_happiness/article/details/72452243
  • CSDN博客：https://blog.csdn.net/liupeifeng3514/article/details/83412176 && https://blog.csdn.net/liupeifeng3514/article/details/83383429#_139 (部分示例图片来源)
  • CSDN博客：https://blog.csdn.net/liyizhixl/article/details/54412459 (输入输出优化)
整理不易，欢迎指正。喜欢的可以点点关注。

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