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列方程解决问题的教学重难点突破技巧



列方程解决问题的教学重难点突破技巧
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图片发自App 分数解决问题中说：解决问题的教学分为三个层次：

【列方程解决问题的教学重难点突破技巧】1.通过具体的题探究和巩固基本数量关系。
2.基本数量关系的应用：通过关键句的解设训练学生学会根据基本数量关系表示相关次量（一份量或单位1就是主量，常设为X），这是五下《用字母式表示数量》一节的主要教学目的。从此学生终于从数中解脱，经由字母式开始更深刻地理解数量之间的本质关系。
方程怕则，则语写好了就成功了一半。

列方程解决问题的教学重难点突破技巧
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图片发自App 3.列方程：仅用表出的次量列方程 或 连同已设好的主量一起参与列出又涉及到其它数量关系的方程。

在此环节，学生有时需从整体把握好几个量之间的关系从而才能列出方程，是难度最大的，如：

列方程解决问题的教学重难点突破技巧
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图片发自App 显然这三个层次层层递进，难度逐渐增大。



以下是针对五年级下册列方程解决问题的思考：
辛苦画图为哪般
很多教师在教学解方程解决问题时总有这样的感觉，老师教的很累很辛苦，学生学的很慢很糟糕。究其原因有两个方面：一是没有抓住重难点找等量关系，二是虽知道重点是找等量关系但不知如何有效突破这个重难点。
凡方程教学皆应将从关键句中找等量关系作为重点，关于其重要性不再赘述，下面主要说说如何有效突破教会学生找等量关系这个重难点。
不同类型的题其等量关系不同，这些等量关系往往都隐藏在纷繁复杂的条件和信息之中，如：
问题一：男有50人，比女的4倍多2人，女有几人？
问题二：甲城到乙城的公路长470千米。快慢两汽车同时从两城相对开出,快车每小时行50千米,慢车每小时行44千米,两车经过多长时间相遇?

可能有的教师会说这有什么难的，可事实上对于小学生来说在这些纷繁复杂的条件和信息中找到等量关系确实是非常困难的一件事，承认这一事实是我们研究商谈如何突破这一重难点的前提。
我们知道对于典型问题其解法是有模型的，等量关系也不例外。那么学生在面对这些复杂的问题时他头脑中已经建立相应的模型了吗？用这些复杂的题来帮助学生建立模型合适吗？
教学经验告诉我们：首先，在面对这些复杂的问题时学生头脑中并未建立相应的模型，当然也无法应用来解决这样复杂的问题。其次，用这些复杂的题来帮助学生建立模型并不合适，学生大多会淹没在纷繁复杂的条件和信息中而一头雾水，茫然不知所措。
怎么办呢？我的方法是首先剔除细枝末节得到本类型题的关键句，然后先用同类型的一些关键句进行专项训练，训练学生找等量关系并建立相应的模型，然后再应用到复杂的完整的肥胖版解决问题中，如：
问题一：男有50人，比女的4倍多2人，女有几人？
首先瘦身得到关键句：男比女的4倍多2人。
师：如求男生怎么求？
生：女×4+2=男。
师：这就是等量关系。在等量关系中，为什么用女去乘倍数4？
生：女的4倍，女是一倍量，所以应该用女去乘倍数4。
专项练习：写出下面各题中的等量关系。
桌比椅的7倍少3个。
足球比篮球的6倍多4个。
问题二：甲城到乙城的公路长470千米。快慢两汽车同时从两城相对开出,快车每小时行50千米,慢车每小时行44千米,两车经过多长时间相遇?

首先瘦身得到关键句：快慢两车从相聚470千米的两地同时出发相向而行，一段时间后两车相遇。

等量关系：快路+慢路=遇路
专项训练：略。
再如落后问题的关键句：
甲乙两人从某地同时出发同向而行，一段时间后甲落在乙后面150千米处。
等量关系：慢路+落路=快路
专项训练：略。
专项训练不过是更换情景更换名称帮助学生加深理解建立模型而已，相遇问题和落后问题的等量关系教学可放在一节课采用对比教学的方式进行。
对于行程问题，线段图具有重要的直观性价值，线段图再加上方程法，可以使学生很容易发现等量关系进而列出方程。方程法的实质是无论求速度还是求时间，一旦引入未知数x后均可化为路程——可用线段直观表示的量。下例是我发现此关键的契机：

列方程解决问题的教学重难点突破技巧
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这是一种化时化速为路程的思路，如同分数解决问题的思路化率为量。更多难度较大的题见《行程问题》。

对于方程单元的解决问题，只有用关键句训练学生才能使学生快速高效地建立等量关系的模型，才能有效突破找等量关系这个重难点，也才能迁移应用去解决复杂的解决问题。
综上，凡方程教学皆应将从关键句中找等量关系建立模型作为重点，首先应该进行铺垫式的专项训练。
值得注意的是，典型题的一再练习与巩固也容易导致学生产生定势思维，导致学生除了典型题什么题都不会做，所以后期还要通过变式打破这种定势，体会等量关系灵活多变的呈现形式，从而从更深层次把握建立等量关系的观念。详可见上面链接《行程问题》。
其他思考：
1.仅仅为了一个和倍问题和一个相遇问题应用算术法的方便而如此大费周折实在是不值，我图将来一点方便却加重了学生负担，实在没有介绍算术法的必要。至于带尾巴型和相遇、落后问题则更是如此，特别是带尾巴型逆向难度太大了，我是在挑最困难的路走。
2.为统一和倍、差倍问题也应该用方程，要明确这种双条件问题的一设一列，一算一验的思路。其难点在于两个量都是未知的，该设哪个量为x呢？有前面带尾巴型的铺垫，此处学生会凭直觉经验设一倍量为x，也会尝试解出此题。需要通过以下问题加深理解：根据哪个条件设的？根据哪个条件列的？求另一量时根据那个条件求的？检验时根据哪个条件检验的？建议：题出示后，首先明确男女生之间存在怎样的等量关系以加深对条件的理解。
3.不要在刚讲完和倍、差倍问题之后紧接着讲和差问题，因为设法易混，策略是后置，待学完路程问题之后再回头学习。
4.站在方程法的角度或高度看五大类问题：
（应再增补鸡兔同笼型，这是最好的学习机会）。
今后众多的题均应站在方法思想策略的高度来看，以方法思想策略来统领，别小看这一视角的小小转变，实际上它意味着观念的重大转变，以方法思想策略来统领题的观念这才是着眼于发展学生能力的观念，随之而来的是更为宽广的天地和视野，你将有可能看到矗立在无数沙粒——题 上的石柱和房梁——方法思想策略。
5.







6.提醒自己分数百分数解决问题也以方程法为主，以找到并建立等量关系模型为重点。见《分数百分数解决问题》中核心素养部分。
《方程单元典型题算术法实践记录》

2019.2.15
以下内容摘自《方法策略与观念建构》：
问题1：列方程解决问题的难点找等量关系如何突破？
Q:用方程解决实际应用问题这类课应该怎么上？用方程这个工具解决实际问题的的过程中，最关键的是找等量关系这一步，简单问题就好找，复杂问题就难找，我们现在想的办法是引导孩子通过列表格、画线段图等方法来梳理已知条件，找等量关系。这样是不是就够了呢？总感觉好像不够。

A:当你这样讲的时候，你仍然只关注了方法和策略上的问题。这就是我常说的，你做很多的题，只是积累了很多的方法和策略，但是，为什么应该这样做？你真的清楚吗？很多时候，我们都是只知其然，而不知其所以然。过去我们自己上学的时候没有人这样追问，但是，我们当了老师仍然这样不追问，可以吗？不是说策略与方法不重要，而是它只能排在第二位，首要的一定是观念建构！就算我们总结了很多方法，去帮助孩子梳理题目中的关键信息，他们就真的会做了吗？
我们必须要从认知的角度去解决问题。我们组织一个开放性的情境，或是让孩子去超市做调查，这样的活动都是从认知的角度去解决问题——因为孩子缺乏背景，所以我们就要帮孩子补足这个背景。丰富孩子的已有经验，在这个过程中提出问题，有些问题孩子可以解决，不能解决的问题就是他的认知冲突，这才是我们的教与学的起点啊！最最重要的是从认知的角度去思考问题，去建构生成一个新观念，而不是把它降低到一个方法和策略的层面。
如果我们观念建构得足够好了，孩子们要去面临中高考的时候，他就需要在短时间内应用建构好的观念去解决问题，这就是策略与方法的问题了。我们用一学期或是一年来训练孩子的应试能力、解题能力，去应对中高考，这有什么难度呢？但是我们能把三年、六年时间全部用来训练解题吗？当然不可以！
喃喃自语：可我只有两年的时间，除了玩命做题还能怎样呢？能否说我的列方程解决问题中的等量建模，行程问题中的线段直观图，分百解决问题中的化率为量，都是观念呢？观念建构中的观念到底是指什么？文中有一段说‘运用本章建构的一元一次方程观念去解决实际问题‘’，个人认为一元一次方程观念就应该是已知量和未知量间存在一元一次函数关系。更宽泛地说，方程观念又是什么观念呢？方程是把已知和未知通过等量关系（一般会是某种模型如函数）建立联系的观念吗？如果我的理解是正确的话，那我在小学教学中如何建构这一观念呢？我想重点仍然是找到已知量和未知量之间的关系，这是解决问题永恒不变的宗旨与追求。而线段图等手段只是实现此观念达成此观念的手段。
我的思考总结：方程观念是把已知和未知通过等量关系建立联系的观念，等量关系一般是某种模型化的关系如函数等，所以又需要建构函数观念，所以方程与函数思想中的方程与函数会同时出现。其背后最重要的观念仍然是找到已知量和未知量之间的关系，这是解决问题永恒不变的宗旨与目的，而线段图等只是实现此目的的手段，更进一步说，函数其实也是达成此目的的工具和手段。
如果不用观念去统领方法策略，学生就会陷入方法和策略的迷宫，迷失在方法和策略的丛林之中。


问题2：观念建构是怎么回事？
这节课属于一元一次方程的综合阶段，应该是运用本章建构的一元一次方程观念去解决实际问题，但是现在孩子们的障碍却在于这个实际问题的特定背景。比如，孩子们不是找不到量与量之间的关系，而是对这些名词、概念不清楚，所以教学的难点就有一点偏移。这就给我们的教学就带来了一些难题，它不是用一元一次方程观念解决实际问题上的难题，而是由于孩子们对这个实际问题背景不熟悉而带来的难题。

我们的教育两个极端，一个极端是完全无视学生的已有经验，直接灌输，老师真理在握，老师的任务就是把自己手中的真理灌给学生。而另一个极端是完全依据学生的已有经验去建构，设置有冲突的问题，一点点地协助学生建构生成新观念，这个过程中老师就好像藏在幕后一样，他只是一个课堂对话的组织者。前者效果一定不好，到最后想要取得好成绩只能靠题海战术、机械训练来实现。后者才是我们理想的教育模型。但是我们现在的课堂教学很难做到，因为受时间的限制，再加上目前我们的孩子没有经历系统的南明数学课程，每个人的背景、思维习惯都不同。所以我们需要思考，目前我们处在两个极端中的哪个位置？
今天这节课显然是偏向传统那一侧的。老师把一个比较复杂的问题掰开揉碎地讲，一步一步启发引导，这就相当于传统上讲的启发式教学，目的是引导学生理解地学习。对于这样的课，就应该在启发引导的基础上，达成共识后迅速拿出相应的练习，两分钟解答完，统计正确率。但是，这样的学习仍然是“被动”的，“主动”的学习一定是“观念建构”式的。
我们的课程不能仅仅着眼于解决问题的策略、方法，而要着眼于“观念建构”。那么，这节课如何以观念建构的方式展开教学呢？既然学生缺乏的是相应背景，那就要补这个背景的经验啊！我们就需要设计一些活动，比如像school fair那样的活动，设计一些开放性的问题，有些问题可能孩子们就解决了，有些可能解决不了，这些解决不了的问题就可以作为课堂对话的基础，大家一起讨论。这就是一个观念建构的过程。
如果教师对孩子的认知冲突十分清楚的话，就应该提前做好这些的准备工作。现在的情况是，你们也知道孩子们会在这里有问题，缺乏背景经验，但是有问题也就这样上了，有点“蛮干”的感觉。

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