从|从最具启发性的汉诺塔问题开始聊递归从最具启发性的汉诺塔问题开

本文篇幅较长，建议仔细耐心看完，相信会有极大的收获。
一、最具启发性的汉诺塔问题 1、汉诺塔问题描述有三根杆子A，B，C。A杆上有 N 个 (N>1) 穿孔圆盘，盘的尺寸由下到上依次变小。要求按下列规则将所有圆盘移至 C 杆：每次只能移动一个圆盘；大盘不能叠在小盘上面。
问：最少要移动多少次？并打印每次移动的情况。
2、从最初开始我们的目标是将1、2、3圆盘从左杆移到右杆上

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可以拆解为以下三步
1）（大步）将1、2圆盘从左移到中杆上
2）将3圆盘从左移到右杆上
3）（大步）将1、2圆盘从中移到右杆上

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代码如下：

/** * @author Java和算法学习：周一 */ public static void leftToRight(int n) { if (n == 1) { // base case System.out.println("Move 1 from left to right"); return; } // 1、1到n-1个圆盘从左到中 leftToMid(n - 1); // 2、从左到右 System.out.println("Move " + n + " from left to right"); // 3、1到n-1个圆盘从中到右 midToRight(n - 1); }

整个左到右方法，你会发现第一大步依赖左到中子方法，第三大步依赖中到右子方法，然后你去补起左到中方法、中到右方法；此时又会发现左到中依赖左到右、右到中方法，中到右依赖中到左、左到右方法……

/** * @author Java和算法学习：周一 */ private static void leftToMid(int n) { if (n == 1) { System.out.println("Move 1 from left to mid"); return; } leftToRight(n - 1); System.out.println("Move " + n + " from left to mid"); rightToMid(n - 1); }private static void midToRight(int n) { if (n == 1) { System.out.println("Move 1 from mid to right"); return; } midToLeft(n - 1); System.out.println("Move " + n + " from mid to right"); leftToRight(n - 1); }private static void rightToMid(int n) { if (n == 1) { System.out.println("Move 1 from right to mid"); return; } rightToLeft(n - 1); System.out.println("Move " + n + " from right to mid"); leftToMid(n - 1); }private static void midToLeft(int n) { if (n == 1) { System.out.println("Move 1 from mid to left"); return; } midToRight(n - 1); System.out.println("Move " + n + " from mid to left"); rightToLeft(n - 1); }private static void rightToLeft(int n) { if (n == 1) { System.out.println("Move 1 from right to left"); return; } rightToMid(n - 1); System.out.println("Move " + n + " from right to left"); midToLeft(n - 1); }

最后你会发现左到中、左到右、中到左、中到右、右到左、右到中这6个方法相互依赖完成了汉诺塔问题。
是不是有点神奇，递归有时候是有点玄学，但是只要把子过程想明白，base case写对，就跑出来了（同时，需要有一点宏观思维）。
3、优化这6个过程，是不是有点麻烦，同时细心的伙伴可能也发现了，这6个方法是及其相似的，那么我们是不是可以定义from、to、other三个变量，他们都可以表示左、中、右。当我左到右时，from=左、to=右、other=中；当左到中时，from=左、to=中、other=右……是不是就能六合一召唤神龙了。
同样拆解为以下三步
1）（大步）将1、2圆盘（即上面n-1个圆盘）从左移到中杆上
2）将3圆盘（即最大的圆盘）从左移到右杆上
3）（大步）将1、2圆盘（即上面n-1个圆盘）从中移到右杆上

/** * 第一次调用function时：from=左、to=右、other=中 * 表示借助other=中，将圆盘从from=左移动到to=右杆上 * * @author Java和算法学习：周一 * * @param n总共的圆盘数量 * @param from起始位置 * @param to目标位置 * @param other 剩余杆子 */ public static void function(int n, String from, String to, String other) { if (n == 1) { System.out.println("Move 1 from " + from + " to " + to); return; } // 1.将上面n-1个圆盘从左移到中杆上， // 即起始位置为左，当前from=左；目标位置中，当前other=中 function(n - 1, from, other, to); // 2.将最大的圆盘从左移到右杆上 System.out.println("Move " + n + " from " + from + " to " + to); // 3.将上面n-1个圆盘从中移到右杆上 // 即起始位置为中，当前other=中；目标位置右，当前to=右 function(n - 1, other, to, from); }

这时候，我们就学会了一个技巧，一个递归函数可以通过增加参数的方式表达更多的可能性，听着跟废话一样，但是现在你再品品。
但是，若没有前面启发性的过程，直接看这个是不是有点难懂；有了启发性的过程，再看是不是豁然开朗。
是不是发现上课时听老师讲汉诺塔时一头雾水，要是老师当时能这么讲绝对听的明明白白。此处应有掌声（和点赞）。
一气呵成，再来看看几个递归过程。
二、打印一个字符串的全部子序列 1、子序列定义对于字符串"12345"，任意取其中0个、1个、2个、3个、4个、5个都是它的子序列，同时相对顺序不能改变。
对于字符串“123”，我们可以很容易分析出以下递归过程

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2、代码

/** * @author Java和算法学习：周一 */ public static List getAllSubSequences(String s) { char[] str = s.toCharArray(); List answer = new ArrayList<>(); String path = ""; process1(str, 0, answer, path); return answer; }/** * 当前来到了str[index]字符 * str[0..index-1]已经走过了，之前的选择都在path上，之前的选择已经不能改变了，就是path。 * 但是str[index....]还能自由选择，把str[index....]所有生成的子序列，放入到answer里 * * @param str指定的字符串（固定） * @param index当前所处的位置 * @param answer 之前决策依据产生的答案 * @param path之前已经做的选择 */ public static void process1(char[] str, int index, List answer, String path) { // 当前来到了字符串的最后位置，已经不能再做决策了，answer只能放入之前的决策 if (index == str.length) { answer.add(path); return; } // 当前没有要index位置的字符 process1(str, index + 1, answer, path); // 当前要index位置的字符 process1(str, index + 1, answer, path + str[index]); }

process1方法就是上面分析出来的递归过程。
三、打印一个字符串的全部子序列，没有重复值打印一个字符串的全部子序列，要求没有重复字面值的子序列，直接将上面的List换成Set即可去重。

/** * 打印一个字符串的全部子序列，要求没有重复字面值的子序列 * * @author Java和算法学习：周一 */ public static Set getAllSubSequencesNoRepeat(String s) { char[] str = s.toCharArray(); Set answer = new HashSet<>(); String path = ""; process2(str, 0, answer, path); return answer; }public static void process2(char[] str, int index, Set answer, String path) { if (index == str.length) { answer.add(path); return; } process2(str, index + 1, answer, path); process2(str, index + 1, answer, path + str[index]); }

四、打印一个字符串的全部全排列 1、全排列定义所有字符都要，只是顺序不同。
2、采用舍弃添加的方式（1）递归过程如下

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在第一大列选择a时，形成了一些结果，当我进行第二大列递归时，得把a添加回去，保持最开始的abc，在第二大列选择b时进行递归得到的结果才是正确的，对于每一列的每一位选择都是如此，递归结束后要恢复现场。
（2）代码

/** * 1.添加删除的方式 * * @author Java和算法学习：周一 */ public static List permutation1(String s) { List answer = new ArrayList<>(); if (s == null || s.length() == 0) { return answer; }ArrayList strList = new ArrayList<>(); for (char c : s.toCharArray()) { strList.add(c); } String path = ""; process1(strList, path, answer); return answer; }/** * 递归获取全排列 * * @param strList 当前参与选择的所有字符 * @param path 之前所做的选择 * @param answer 最终结果 */ private static void process1(ArrayList strList, String path, List answer) { // 当前没有可以选择的字符了，answer只能放入之前的选择 if (strList.isEmpty()) { answer.add(path); return; } for (int i = 0; i < strList.size(); i++) { // 当前选择的字符 char cur = strList.get(i); // 舍弃已经选择的字符 strList.remove(i); // 剩余字符再进行选择 process1(strList, path + cur, answer); // 恢复现场 strList.add(i, cur); } }

3、一直在原始字符串上以交换的方式进行递归在第一大列形成结果acb时，如果不恢复现场，当我进行第二大列递归时，是从acb开始进行0、1位交换形成cab，和后面的重复了，所以每一步交换递归结束后要恢复现场。
（1）递归过程如下
【从|从最具启发性的汉诺塔问题开始聊递归】

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（2）代码

/** * 2.交换的方式 * * @author Java和算法学习：周一 */ public static List permutation2(String s) { List answer = new ArrayList<>(); if (s == null || s.length() == 0) { return answer; } char[] str = s.toCharArray(); process2(str, 0, answer); return answer; }/** * 递归获取全排列 * * @param str 当前经历过交换后的字符 * @param index 当前交换到哪个位置了 * @param answer 结果 */ private static void process2(char[] str, int index, List answer) { // 当前来到了字符串的最后位置，已经不能再交换了，answer只能放入之前交换后的字符 if (index == str.length) { answer.add(String.valueOf(str)); return; }// index之前的已经交换过不能再变了，所以从index往后还可以再交换 for (int i = index; i < str.length; i++) { // index、i位置交换 swap(str, index, i); // index后面的继续交换 process2(str, index + 1, answer); // index、i位置恢复现场 swap(str, index, i); } }

五、打印一个字符串的全部全排列，没有重复值 1、代码

/** * 交换的方式，去重 * * @author Java和算法学习：周一 */ public static List permutation3(String s) { List answer = new ArrayList<>(); if (s == null || s.length() == 0) { return answer; } char[] str = s.toCharArray(); process3(str, 0, answer); return answer; }/** * 递归获取全排列，没有重复的字符串 * * @param str 当前经历过交换后的字符 * @param index 当前交换到哪个位置了 * @param answer 结果 */ private static void process3(char[] str, int index, List answer) { // 当前来到了字符串的最后位置，已经不能再交换了，answer只能放入之前交换后的字符 if (index == str.length) { answer.add(String.valueOf(str)); return; }boolean[] visited = new boolean[256]; // index之前的已经交换过不能再变了，所以从index往后还可以再交换 for (int i = index; i < str.length; i++) { // str[i]位置对应字符没有出现过才递归交换，否则忽略 if (!visited[str[i]]) { visited[str[i]] = true; // index、i位置交换 swap(str, index, i); // index后面的继续交换 process3(str, index + 1, answer); // index、i位置恢复现场 swap(str, index, i); } } }

2、为啥我们不采用Set的方式来去重？仔细看以上代码，发现没有再用Set的方法来去重，为啥？
因为采用Set去重，程序会重复的做很多相同字符的递归操作，将产生的相同字符串放到Set中由Set去重；而采用以上方式，对于相同的字符就不会再重复的递归了，有效减少了重复分支的递归操作，俗称剪枝。
相当于Set是从结果中过滤去重，而以上方式是在中途的过程就已经去重了。
六、栈的逆序给你一个栈，请你逆序这个栈，不能申请额外的数据结构，只能使用递归函数。如何实现?
1、得到栈底元素（1）代码

/** * 得到栈底元素，剩余元素直接下沉 * * 例如，从栈顶到栈底元素为1、2、3、4、5 * 此方法返回5，剩余从栈顶到栈底元素为1、2、3、4 * * @author Java和算法学习：周一 */ private static int getDown(Stack stack) { int result = stack.pop(); if (stack.isEmpty()) { return result; } else { int last = getDown(stack); stack.push(result); return last; } }

（2）过程

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2、递归逆序（1）代码

/** * @author Java和算法学习：周一 */ public static void reverse(Stack stack) { if (stack.isEmpty()) { return; } int down = getDown(stack); reverse(stack); stack.push(down); }

（2）过程

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本文所有代码
Github地址：https://github.com/monday-pro/algorithm-study/tree/master/src/basic/dynamicprogramming/recursion
Gitee地址：https://gitee.com/monday-pro/algorithm-study/tree/master/src/basic/dynamicprogramming/recursion
怎么样，是不是如沐春风般醍醐灌顶。