类欧几里得算法浅谈(部分) 类欧几里得算法浅谈(部分)

【类欧几里得算法浅谈(部分)】
学习类欧几里得算法,因为是蒟蒻,感觉网上很多都看不懂,所以自己写一篇快活快活
第一类求和式: \(F(a,b,c,n)=\sum_{i=0}^n\lfloor\frac{a*i+b}{c}\rfloor\)
对于这样形式的求和,我们有以下的推导: 1.当\(a>=c\)或\(b>=c\)时,我们有: 对于\(\lfloor\frac{a}{c}\rfloor\), 它实际等价于\(\lfloor\frac{a\mod c}{c}\rfloor+\lfloor\frac{a}{c}\rfloor\), 于是对于原先的式子,我们可以推出: \(F(a,b,c,d,n)=\sum_{i=0}^n\lfloor\frac{a*i+b}{c}\rfloor\) =\(\sum_{i=0}^n(\lfloor\frac{a\mod c*i+b\mod c}{c}\rfloor+\lfloor\frac{a*i}{c}\rfloor+\lfloor\frac{b}{c}\rfloor)\)
进一步化为递归的形式就是: \(F(a\%c,b\%c,c,n)+\frac{(n+1)n}{2}*\lfloor\frac{a}{c}\rfloor+(n+1)*\lfloor\frac{b}{c}\rfloor\)
2.当\(a 然后我们就可以轻轻松松的画出一个一次函数的图像,在坐标系里表现出的就是一个直角梯形,函数的定义域\(D\in[0,n]\),函数的值域\(Z\in[b,m]\),其中令\(m=\frac{a*n+b}{c}\),也就是当\(i\)等于\(n\)时的值.我们要求定义域内函数值的和,自然就是求积分,也就是这个直角梯形的面积.然后加上下整除符号,我们需要求出的就是这个梯形内整点的个数. 我们枚举所有整点的纵坐标,就有: \(F=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=1}^{m}[\lfloor\frac{a*i+b}{c}\rfloor>=j]\)
\(=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m-1}[\lfloor\frac{a*i+b}{c}\rfloor>=j+1]\)
对于: \([\lfloor\frac{a*i+b}{c}\rfloor>=j+1]\),
我们知道,大于等于去掉下整除依旧成立,于是 \(=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m-1}[(\frac{a*i+b}{c})>=j+1]\)
将分母乘过去,\(b\)移过去: \(=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m-1}[a*i>=j*c+c-b]\)
\(a\)除过去: \(=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{m-1}[i>=\frac{(j*c+c-b)}{a}]\)
我们注意到,\(j\)的变化与\(i\)是无关的,于是我们可以将两个\(\sum\)交换 \(=\sum_{j=0}^{m-1}\sum_{i=0}^{n}[i>=\frac{(j*c+c-b)}{a}]\)
\(=\sum_{j=0}^{m-1}\sum_{i=0}^{n}[i>\frac{(j*c+c-b-1)}{a}]\)
(分子减一,去掉等号) 去掉内层\(sigma\): \(=\sum_{j=0}^{m-1} n-\frac{(j*c+c-b-1)}{a}\)
(这个显然等价) \(=n*m-\sum_{j=0}^{m-1} \frac{(j*c+c-b-1)}{a}\)
老规矩,转换成递归形式: \(=n*m-F(c,c-b-1,a,m-1)\)
\(code:\)

inline int add(int a,int b){return a+b>=mod?a+b-mod:a+b; } inline int sub(int a,int b){return a-b<0?a-b+mod:a-b; } inline int mul(ll a,ll b){return a*b=(mod<<1)?a*b%mod:a*b-mod; }int likegcd(int a,int b,int c,int n) { if (!a) return 0; if (a>=c||b>=c) { int tmp=likegcd(a%c,b%c,c,n); tmp=add(add(tmp,mul(mul(mul(n,n+1),inv[2]),a/c)),mul(n+1,b/c)); return tmp; } // ll m=((ll)a*n+((ll)b)/(ll)c); int f=(((ll)a*n)+b)/c; // prllf("[%lld]",f%mod); return sub(mul(n,f),likegcd(c,c-b-1,a,f-1)); }

(完)
(待补)

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