LOJ|LOJ 3159: 「NOI2019」弹跳 LOJ3159:「NOI2019」弹跳

题目传送门：LOJ #3159。
题意简述：
二维平面上有 \(n\) 个整点，给定每个整点的坐标 \((x_i,y_i)\)。
有 \(m\) 种边，第 \(i\) 种边从 \(p_i\) 号点连向满足 \(l_i\le x_j\le r_i\) 和 \(d_i\le y_j\le u_i\) 的点 \(j\)，即一个矩形范围内的所有点。
求 \(1\) 号点到其它每个点的最短路长度。
题解：
考虑 Dijkstra 算法求最短路的过程：
一开始只有起点的距离为 \(0\)，而其它点距离为无限大。
每次取出一个距离最短的没被更新过的点，用它更新它能到达的所有未被更新过的点的距离，并将其标记为已被更新。
重复这个过程直到所有点均被更新。
上述过程一般使用单调队列来维护距离最短的点。
而在此题中，一次更新时可能加入的点会有很多很多，不能每次将其一并加入。
可以考虑加入一条边而非点，加入的这条边就代表了这条边连向的所有点的距离。
类似地，每次取出距离最短的边，此时这条边代表的矩形内部的所有点均可以进行更新，因为只会去更新未被更新过的点，所以更新完这些点的距离后，可以把这些点全部删除。
上述方法是最短路中包含“一对多”，“多对多”的边时的处理办法。还有一种方法是使用数据结构模型优化建边，但是一般不会比这种方法来得优。
至于具体如何维护矩形删点操作，删点时可以暴力一个个删除，因为每个点只会被删除一次，问题在于如何快速找到要删除的点。
这里我使用线段树套平衡树（std::set）维护，外层线段树处理横坐标上的区间，内层平衡树可以快速访问目标点将其删除。
下面是代码，时间复杂度为 \(\mathcal{O}(n\log^2n+m\log m)\)：

#include #include #include #include #include #define mp std::make_pair typedef std::pair pii; typedef std::multiset::iterator iter; const int MN = 70005, MM = 150005; const int MS = 1 << 18 | 7; int N, M, W, H, yp[MN], vis[MN], dis[MN]; int h[MN], nxt[MM], et[MM], eL[MM], eR[MM], eD[MM], eU[MM]; std::multiset st[MS]; std::priority_queue pq; void Ins(int i, int l, int r, int x, int id) { st[i].insert(mp(yp[id], id)); if (l == r) return ; int mid = (l + r) >> 1; if (x <= mid) Ins(i << 1, l, mid, x, id); else Ins(i << 1 | 1, mid + 1, r, x, id); } void Del(int i, int l, int r, int id, int d) { if (r < eL[id] || eR[id] < l) return ; if (eL[id] <= l && r <= eR[id]) { iter it = st[i].lower_bound(mp(eD[id], 0)), tmp; while (it != st[i].end() && it -> first <= eU[id]) { int u = it -> second; if (!vis[u]) { vis[u] = 1, dis[u] = d; for (int j = h[u]; j; j = nxt[j]) pq.push(mp(-d - et[j], j)); } tmp = it, ++it, st[i].erase(tmp); } return ; } int mid = (l + r) >> 1; Del(i << 1, l, mid, id, d); Del(i << 1 | 1, mid + 1, r, id, d); }int main() { freopen("jump.in", "r", stdin); freopen("jump.out", "w", stdout); scanf("%d%d%d%d", &N, &M, &W, &H); for (int i = 1, x; i <= N; ++i) { scanf("%d%d", &x, &yp[i]); Ins(1, 1, W, x, i); } for (int i = 1, p; i <= M; ++i) { scanf("%d%d%d%d%d%d", &p, &et[i], &eL[i], &eR[i], &eD[i], &eU[i]); nxt[i] = h[p], h[p] = i; } dis[1] = 0, vis[1] = 1; for (int i = h[1]; i; i = nxt[i]) pq.push(mp(-et[i], i)); while (!pq.empty()) { pii ed = pq.top(); pq.pop(); int dis = -ed.first, id = ed.second; Del(1, 1, W, id, dis); } for (int i = 2; i <= N; ++i) printf("%d\n", dis[i]); return 0; }

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